книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

п

Слева в этом тождестве стоит скалярное произведение (11, 0)1. Поэтому, повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 4.1 § 4, получим аналогично (4.30) при 0 = 1 , используя обозначение (4.31),

(<Э«1 “ <Э«2, й)х = !	+
V	(5.14)

+" Ш{*2})Ч"*>{Й 1}+ ау-

Так как тензор-оператор ёгу{Й} является дважды дифференци­ руемым,

(&г‘>-& а,>)ч			~ - ^ — {и}гикцитп\,			(5.15)
			О&ыдЬтп
			д&ц,			(5.16)
5-у{Й1} -<ту{Й2} - ] ^				и>к1 =
				д*&ц	-{«}гУтпгоы
				дек\де„
где
« = «2 + («1 —и2)^, й = «2 + (« —щ)г),				0 $	г/^ 1.	(5.17)
Поэтому, используя условия (5.1), имеем
(Ой, -	<?Й2, и>)х		I(п > а, Щ )3'2Ы .			(5.18)
			V
Пусть теперь некоторая функция <р(х, 1) определена в области
V, объем которой равен V.		Пусть эта функция положительна и
меньше единицы.	Тогда
	0 < ^ < ч > < 1.					(5-19)

0 < ! <р3?2 ёУ < ! <рёУ < V .

С другой стороны, из неравенства Минковского следует, что

3/2

1<р*/2Л У > У - 1'2 1/ ^ |

•

(5.21)

Из неравенств (5.20) и (5.21) имеем, таким образом,

3/2

(5.22)

XV

/

V

П

Следовательно, всегда найдется такое число а (0 < а ^ 1), что

	1 + « /2
1 1р3'2<1У= У~а/2	(5.23)

Представляя теперь в (5.23) вместо функции <р функцию получим из (5.18)

1(03! - 0 3 а, Й), |< \ ьу ~ а'2|М|?+а.

(5.24)

Из неравенств (5.4) вытекает

т 1||й||^?||й||^М1« ,

(5.25)

где под ||й||о понимается норма в гильбертовом пространстве со скалярным произведением (4.18), где оператор р имеет вид (4.20). Поэтому

	1103! - 0г,||о < «||31 - 32||^“,		(5.26)
где
	а = Ё А ^ - " / 2.		(5.27)
	4	2 тг
Следовательно,	оператор 0	(4.29) является оператором сжатия,
если выполнено	условие
	д||«1 - «гНо < 1-		(5.28)

з* - а<п>= (з(п+1) -		з(")) + (з(п+2) - й("+1)) + . . .
последовательно неравенство (5.26), получим
||3* -	3(п>||о ^		‘ а(1+в)'>{1 +		+ . . . } .	(5.38)
Из (5.8)	следует,	что
		г^	в(1+«)"	< 1 ,		(5.39)

так как из (5.9) видно, что С < 1. Поэтому ряд в фигурных скобках сходится и имеет место оценка (5.11).

Теорема полностью доказана.

Заметим, что неравенство (5.11) можно записать в виде

||«(п) - «*||0 ^ С,М1+Л)П,

(5.40)

где величину С\ можно сделать как угодно малой за счет дос­ таточно удачного выбора нулевого приближения. Тогда при использовании формулы Стирлинга для больших п из (5.40) вы­ текает следующее неравенство:

||«(п) ~ «*||о ^ (п!)-<‘+">-*-\

(5.41)

Из (5.11) видно, что в (5.40) можно положить

С1 =	С 1'а ( 1 - С 11а )' 6 =	(5.42)
		° 1,а'

Рассмотрим теперь решение задачи «В » быстросходящимся методом последовательных приближений. Пусть для произволь­ ного симметричного тензора к справедливо неравенство

I I	1 ж. 1		^ /(А «Ч )3/2, />0.	(5.43)
а л	}	Лу]
0<Тк10<Ттп

Предположим далее, что пространство 51 с введенным скалярным произведением

(~’г)2=I [Ш:<Тк,]п^у

(5-44)

является гильбертовым для тензор-функций т Е То, определенных в конечной области V.

Теорема 5.2. Пусть тензор-оператор Й (4.50) имеет вид

(5.45)

и существует единственное обобщенное решение соответствующей

задачи « В ,» .	Пусть выполнены неравенства (5.43) и
	' дё:	^ А^1	,	0 < В] ^ М\.		(5.46)
	^
	д<Тк1
Пусть, кроме того, а — такое положительное число, что
^ [ё,>(о-(0)) - *о (?(0))К г л у <			п1« {	'го°)<то°) Лу -		(5-47)
V			V
Тогда найдется такое число а, 0 < а ^ 1, что задача « В »						имеет
единственное	решение а* в	окрестности		||<х(°) —	^ го,	если

выполняются неравенства (5.8), где величины у и С определяют^ ся соотношениями (5.9), где тх нужно заменить на « 1, а го — наименьший корень уравнения (5.10).

При /? = 1 к этому решению сходится начинающийся с

процесс последовательных приближений, причем
||<х( т ) -?*||2 ^ С 1*(1+а)т,	(5.48)

где 6 и С\ определены в (5.42).

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству те­ оремы 5.1.

Пусть теперь для решения, например, задачи «А » составлена разностная схема, и пусть для ее численной реализации состав­ лена итерационная схема, аналогичная схеме (4.21), (4.22), где в

качестве оператора р,у выбран разностный аналог Р		оператора
(5.3). Записав задачу «А » в абстрактном виде:
Ш	= /,	(5.49)
получим итерационную схему
Р„«(п+1) = р пй(п) _ [ ^ а(»)) _ Д п = 0,1,2........		(5.50)

и("+!) = «>, Р п = М, Рпй ^ ) - [ 1 ( й Н ) - / ] = /!

то задача перехода от п-й итерации к п 4- 1-й состоит в решении уравнения

Мй> = /х.

(5.52)

Лля решения этого линейного уравнения выбираем итерацион­ ную схему

ЛЙ,(т + 1) = Л Д (т ) + рт[Ми>(т) - / 1]

(5.53)

где оператор обращения А может быть выбран одним из способов, рассмотренных в § 2 и 3. В частности, для решения уравнения (5.52) можно применить двухступенчатый метод. Тем самым реше­ ние нелинейного уравнения (5.49) будет реализоваться с помощью трехступенчатого метода.

Глава б

ВАРИАЦИОННЫЕ И ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ

§ 1. ПРОБЛЕМА ПРИБЛИЖЕНИЯ

Рассмотрим проблему, которая часто возникает при решении краевых задач М ДТТ. Пусть для линейного оператора Ь задано уравнение, справедливое в области V:

Ш = Г,

(1.1)

где Р — заданная величина. Пусть на границе области V, которую обозначим Е, заданы граничные условия

Ш = /,

(1.2)

где I — некоторый линейный оператор, а / — заданая на Е вели­ чина. Часто возникает следующая ситуация. Имеется конечный или бесконечный набор некоторых функций чн(%), каждая из ко­ торых удовлетворяет уравнению (1.1). Чаще всего эти функции, которые называются координатными функциями, выбираются так, что одна из них ч>а{х) удовлетворяет уравнению (1.1):

Ь щ = Р,

(1.3)

а остальные <Рг(х), г = 1,2,..., удовлетворяют однородному урав­ нению (1.1):

Ь<Рг = 0 , г =	1 ,	2 , . . . .	(1.4)
Тогда комбинация
н(2) = Р о ( 5 ) +	^	а т ( х )	(1.5)

будет удовлетворять уравнению (1.1), причем коэффициенты а, подбираются так, чтобы функция и(х) как можно точнее удовлет­ воряла граничным условиям (1.2). Другими словами, строятся функции 1р,(у), з = 0,1,2,..., у € Е:

Фо{у) = 1<Ро,	М у) =	*	= 1.2,... •	(1.6)
Тогда коэффициенты а,' выбираются так,			чтобы для функции
у(у ) =	Фо(у) + '52<и Ы		у)	(1-7)
		1

норма, выбранная в некотором линейном нормированном прост­ ранстве Ф:

А = ||/- г)(р)||«,

( 1.8)

была наименьшей.

Пусть / € Я, причем Я является подпространством пространс­ тва Ф. Пусть каждая из функций ^ (у), / = 0,1,2,..., принадлежит пространству Н\, также являющемуся подпространством прост­ ранства Я. Тогда при фиксированных координатных функциях г1ч(у) и фиксированном их числе (г = 1,2,..., Я ) функция

N
»лг(3) = Фо(у) + 5 3 а*М У)	(1-9)
|= 1

будет принадлежать конечномерному пространству Ам, также яв­ ляющемуся подпространством пространства Ф. Тогда величина

	Е (Н ,А п) = шах пип		||/ - »лК5)Н*	(1Ю)
		/€« «N€^1^
называется уклонением множества Я			от пространства Ац.	На­
именьшая	из величин	Е (Н ,А н) по	всем Ж-мерным подпрост­
ранствам	пространства	Ф называется в теории приближения

Ж-поперечником [121], а пространство Ллг, для которого этот ми­ нимум достигается, называется экстремальным пространством. Для некоторых классов функций, т.е. пространств Я , найдены и Ж-поперечники, и экстремальные пространства. В некоторых случаях это тригонометрические многочлены или полиномиаль­ ные сплайны [116].

Итак, основная проблема теории приближения заключается в

том, чтобы найти такие функции у>*(2), г = 1,2, ...,Ж,	чтобы с
помощью выражений
N	( 1. 11)
«лг(2) = У^а,у,-(5)

1= 1

достаточно хорошо приблизить любую функцию и (5), принадле­ жащую заданному классу Н.

Рассмотрим так называемый метод коллокаций.;	Пусть нам
известно N узлов ж,- (г = 1,2,..., ТУ), в которых заданы значения
функции II(х):
Ъ = Н *г).	(1.12)

Требуется приблизить функцию Щ х) функциями вида (1.11) так, чтобы значения функции идг(я) в узлах совпадали с заданными значениями (1.12). С такой задачей мы уже сталкивались ранее. Если <рг(х) представляют собой полиномы, то идг(ж) представляет собой интерполяционный полином Лагранжа. Если требуется, чтобы в узлах не только сама функция и^(х) принимала задан­ ные значения (1.12), но и ее производные до некоторого порядка принимали значения производных от функции 11(х), то задача ин­ терполяции решается с помощью полиномов Эрмита [120]. Итак, пусть известно, что

	N
^ =	* = 1 , - ,ЛГ,	(1.13)
	«=1

где введено обозначение

(114)

Задача метода коллокации состоит в выражении неизвестных коэффициентов а^ через заданные значения 11%(1.12):

N

<115)

1=1

т.е. в нахождении коэффициентов с^. Предположим, что

	Ф 0-		(1-16)
Тогда матрица	является обратной к матрице <р^, и поэтому
N	N N	N
“* (* ) = ^ а т (х) = '% 212сч и1(р1(*) = ХТ			*1(г )°1> (117)
»=1	1= 1 7 = 1	1 = 1
где	N
	*!(*) = Х )С<!^(2)’		О18)

*=1

В технической литературе часто пользуются обозначениями Зенкевича [26]. Одностолбцовую матрицу обозначают с помощью фигурных скобок:

	/«1
	а2
м =	(1.19)
	\алг

Матрицу, состоящую из одной строки, обозначают с помощью индекса «Т» (транспонированная матрица):

{а}т = (а1,а2, •■. ,алг).

(1-20)

Матрицу, имеющую более одной строки и более одного столбца (но не обязательно квадратную), обозначают с помощью квадратных скобок:

( <РП	<Р12	■■■	У1ЛГ \	(1.21)
т	<Р22	. . .	?2ЛГ
*РЫ\	У>ЛГ2	•••	<РЫЫ'

Спомощью таких обозначений формулу (113) можно записать

ввиде

{11} = М т {а},	(1.22)
а формулу(1.15) — в виде
{ а ) = [ с т .	(1.23)
Тогда	(1.24)
И = ( М г Г 1.
Тогда (1.17) имеет вид
«лг(ж) = Ы ТМ 2 )} = {17}ТИТ М * ) } = {6(2)}т {1/},	(1.25)
где
(6(5)} = [с]т { < р ( х ) }.	(1.26)

Пусть теперь по какой-то причине число координатных функ­ ций у>,(2) меньше или больше числа узлов N. Будем считать, что индексы,обозначаемые большими буквами, пробегают значения I = 1,2, где N — число узлов, а индексы, обозначаемые малыми латинскими буквами, пробегают значения г = 1,2,..., и,